Banque de questions

$P(\max = k) = \dfrac{k^2 - (k-1)^2}{36} = \dfrac{2k-1}{36}$. Espérance : $\sum_{k=1}^{6} k \, \dfrac{2k-1}{36} = \dfrac{161}{36} \approx 4{,}47$.

Tirer directement. Quatre chambres vides ; derrière trois d'entre elles vient une chambre vide, derrière une seule vient une balle : survie $3/4$. En retournant, survie $4/6 = 2/3$.

Sept. Cinq courses de 5 chevaux, puis une course des 5 vainqueurs : le gagnant est le plus rapide. Restent candidats aux places 2 et 3 : les 2e et 3e de la course des vainqueurs, le 2e et le 3e de la série du gagnant, le 2e de la série du deuxième. Cinq chevaux, une septième course.

Nombre de fulls : $13 \binom{4}{3} \times 12 \binom{4}{2} = 13 \times 4 \times 12 \times 6 = 3\,744$. Nombre de mains : $\binom{52}{5} = 2\,598\,960$. Probabilité ≈ 0,144 %, environ une main sur 694.

On raisonne à rebours. À 2 pirates, le plus ancien garde tout (sa voix suffit). À 3, il achète la voix du dernier avec 1 pièce : (99, 0, 1). À 4, il donne 1 pièce à celui qui n'aurait rien à 3 : (99, 0, 1, 0). À 5, il achète deux voix parmi ceux qui n'auraient rien à 4 : (98, 0, 1, 0, 1).

Aucune ne fait mieux que 1/2. La proportion de rouges restantes est une martingale : à chaque instant, la probabilité que la prochaine soit rouge est égale à l'espérance de la proportion finale, qui vaut sa valeur initiale, 1/2. Dire stop tout de suite est aussi bon que n'importe quelle règle.

$1/4$. Un triangle existe si chaque morceau fait moins de la moitié du bâton. Dans le carré des deux points, la zone où une longueur dépasse $1/2$ couvre trois triangles d'aire totale $3/4$ ; il reste $1/4$.

Si tu vois deux chapeaux de la même couleur, annonce l'autre couleur ; sinon, passe. On perd seulement quand les trois chapeaux sont identiques ($2/8$ des cas) : gain $3/4$. Les erreurs sont concentrées sur peu de cas, les bonnes réponses réparties sur beaucoup.

Oui. Il y a $12 \times 2 = 24$ cas et trois pesées donnent $3^3 = 27$ issues. Pèse 4 contre 4. Équilibre : la fausse est parmi les 4 restantes ; pèse 3 d'entre elles contre 3 pièces sûres, le sens du déséquilibre dit lourde ou légère, une dernière pesée isole la pièce. Déséquilibre : on sait que la fausse est une « lourde possible » du plateau bas ou une « légère possible » du plateau haut ; la deuxième pesée mélange ces candidates (par exemple 2 lourdes possibles + 1 légère possible contre 1 lourde possible + 2 sûres) pour que chaque issue laisse au plus 3 cas, que la troisième pesée sépare.

14. Avec $n$ lancers au pire, le premier œuf part de l'étage $n$, puis $n + (n-1)$, etc. : si l'œuf casse, le second balaie les étages intermédiaires un par un. On couvre $n(n+1)/2$ étages ; il faut $n(n+1)/2 \geq 100$, soit $n = 14$ (105 étages couverts).