Question bank

$1/4$. Huit choix équiprobables ($2^3$) ; seuls « toutes dans le sens horaire » et « toutes dans le sens antihoraire » évitent toute rencontre : $2/8$.

23. On calcule le contraire : $P(\text{tous différents}) = \prod_{k=0}^{n-1} \dfrac{365-k}{365}$, qui passe sous 0,5 à $n = 23$. Intuition : 23 personnes forment 253 paires.

Allume la corde A par les deux bouts et la corde B par un seul bout. A brûle en 30 minutes, quelle que soit l'irrégularité. À cet instant, allume l'autre bout de B : il lui restait 30 minutes de combustion, elle les brûle en 15. Total : 45 minutes.

$\binom{8}{4} = 70$. Un chemin est une suite de 8 pas dont 4 vers la droite : on choisit leurs positions.

Deux. Mets 3 billes contre 3. Équilibre : la lourde est parmi les 2 restantes, une pesée de plus les départage. Déséquilibre : elle est dans les 3 du plateau lourd ; pèse 1 contre 1, la troisième est la lourde en cas d'équilibre. Chaque pesée a trois issues : $3^2 = 9 \geq 8$.

Juste valeur 7. Je cote par exemple 6,5 – 7,5 : fourchette symétrique autour de l'espérance, assez large pour couvrir le risque (écart-type ≈ 2,4) et le fait que tu en saches peut-être plus que moi. Si tu achètes, je peux remonter ma cotation ; je dis ce que je ferais de ma position.

50 %. Sur 10 000 personnes : 100 malades, dont 99 positifs ; 9 900 sains, dont 99 faux positifs. Parmi 198 positifs, 99 sont malades. Bayes : $P(M \mid +) = \dfrac{0{,}99 \times 0{,}01}{0{,}99 \times 0{,}01 + 0{,}01 \times 0{,}99} = 1/2$.

Je change : je gagne avec probabilité $2/3$. Mon premier choix est bon une fois sur trois et le reste. Les deux fois sur trois où il est mauvais, le présentateur est obligé de laisser la voiture derrière l'autre porte fermée.

Allume l'interrupteur 1 pendant quelques minutes, éteins-le, allume le 2 et entre. Ampoule allumée : c'est le 2. Éteinte mais chaude : le 1. Éteinte et froide : le 3. On utilise une deuxième information, la chaleur, en plus de l'état allumé / éteint.

24. Chaque zéro vient d'un facteur $10 = 2 \times 5$ ; les facteurs 2 sont plus nombreux, on compte les 5 : $\lfloor 100/5 \rfloor + \lfloor 100/25 \rfloor = 20 + 4 = 24$.

$2/3$. $P(\text{pile}) = \tfrac12 \times 1 + \tfrac12 \times \tfrac12 = \tfrac34$, donc $P(\text{truquée} \mid \text{pile}) = \dfrac{1/2}{3/4} = 2/3$. Autrement : trois faces « pile » possibles, dont deux sur la pièce truquée.

6. Le nombre de lancers suit une loi géométrique de paramètre $p = 1/6$, d'espérance $1/p$. En une équation : $E = 1 + \tfrac56 E$, donc $E = 6$.

$1/3$. Cas équiprobables : GG, GF, FG, FF. L'information « au moins un garçon » retire FF ; il reste trois cas dont un seul GG.

Non. Deux coins opposés ont la même couleur : il reste 32 cases d'une couleur et 30 de l'autre. Un domino couvre toujours une case blanche et une noire, donc 31 dominos couvrent 31 cases de chaque couleur. Impossible.

22 fois. La grande aiguille fait 24 tours, la petite 2 : la grande rattrape la petite $24 - 2 = 22$ fois. Les superpositions sont espacées de $12/11$ heure, soit environ 65 min 27 s.

$6\left(1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14 + \tfrac15 + \tfrac16\right) = 14{,}7$. Une fois $k$ faces vues, une nouvelle face sort avec probabilité $(6-k)/6$ : attente $6/(6-k)$. On additionne les attentes.

Relancer si le premier dé est 1, 2 ou 3 (la relance vaut 3,5 en espérance). Valeur : $\tfrac12 \times 5 + \tfrac12 \times 3{,}5 = 4{,}25$ euros.

Méthode de Fermi : environ 40 millions de voitures, un plein par semaine et par voiture, soit ≈ 6 millions de pleins par jour. Une station sert ≈ 500 à 600 pleins par jour. On obtient ≈ 10 000 à 12 000 stations ; le chiffre réel est de l'ordre de 11 000. Ce qui compte : hypothèses annoncées, calcul propre, contrôle de cohérence.

Ta richesse est une martingale : $10 = 20 \, p + 0 \times (1-p)$, donc $p = 1/2$ (en général $k/N$). Durée moyenne : $k(N-k) = 10 \times 10 = 100$ paris.

PP : 6 lancers. États : rien, P. $E_0 = 1 + \tfrac12 E_P + \tfrac12 E_0$ et $E_P = 1 + \tfrac12 \cdot 0 + \tfrac12 E_0$, d'où $E_0 = 6$. PF : 4 lancers, car un « pile » raté (P suivi de P) laisse déjà un P en place.